Question

6．已知f（x），g（x），都是定義在R上的函數，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），設a，b分別為連續(xù)兩次拋擲同一枚骰子所得點數，若f（x）-a^xg（x）=0，$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$≥$\frac{10}{3}$，則關于x的方程abx²+8x+1=0有兩個不同實根的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{12}$
• C． $\frac{7}{18}$
• D． $\frac{13}{36}$

Answer 1

分析 先求出a的取值，結合關于x的方程abx²+8x+1=0有兩個不同實根，確定a，b 的可能情況，再結合基本事件總數，即可求出概率．

解答 解：∵f（x）-a^xg（x）=0，
∴f（x）=a^xg（x）（a＞0，a≠1），
∴a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$．
∵f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，
∴（a^x）′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，
∴函數y=a^x單調遞增，
∴a＞1．
∵$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$≥$\frac{10}{3}$．
∴a+a^-1≥$\frac{10}{3}$，a＞1．
解得a≥3．
∴a=3，4，5，6，
∵關于x的方程abx²+8x+1=0有兩個不同實根，
∴△=64-4ab＞0，
∴ab＜16，
a=3時，b=1，2，3，4，5；a=4時，b=1，2，3；a=5時，b=1，2，3；a=6時，b=1，2；共13種情況
又a，b的取值有6×6=36種情況．
∴所求概率為$\frac{13}{36}$．
故選：D．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查概率知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．