Question

若函數(shù)f（x）=kx-e^x有零點，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：原題等價于函數(shù)g（x）=

ex

x

，（x≠0）的值域，求導(dǎo)函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，可得值域，可得答案．

解答： 解：當(dāng)x=0時，可得f（0）=-1，故x=0不是函數(shù)的零點；
當(dāng)x≠0時，由函數(shù)f（x）=kx-e^x有零點可得kx=e^x有解，
即k=

ex

x

，故k的取值范圍為函數(shù)g（x）=

ex

x

，（x≠0）的值域，
∵y′=

ex•x-ex

x2

=

ex(x-1)

x2

，
令y′＜0可得x＜1，故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x＜0時，函數(shù)值g（x）＜0，
當(dāng)x＞0時，g（1）為函數(shù)的最小值，且g（1）=e，故g（x）≥e，
綜上可得g（x）的取值范圍為g（x）＜0或g（x）≥e，
故k的取值范圍為：k＜0或k≥e．
故答案為：k≥e或k＜0．

點評：本題考查函數(shù)零點的判斷，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．