Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N^*，滿足關(guān)系式2S_n=3a_n-3．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是bn=

1	log3an(log3an+1)

，前n項(xiàng)和為T_n，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有T_n＜1．

Answer 1

分析：（I）由已知得

2Sn=3an-3 2Sn-1=3an-1-3，n≥2

，故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1．由此可求出a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-

1

n+1

＜1．

解答：解：（I）由已知得

2Sn=3an-3 2Sn-1=3an-1-3，n≥2

故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1
即a_n=3a_n-1，n≥2
故數(shù)列a_n為等比數(shù)列，且q=3
又當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=3a₁-3，∴a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，n≥2．
而a₁=3亦適合上式
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)  +…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算．