Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）設(shè)，討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的取值范圍是.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)可以得到，分三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號.（2）計(jì)算可以得到，其導(dǎo)數(shù)為，我們需要討論的符號，故需再構(gòu)建新函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，結(jié)合原函數(shù)的形式和的形式，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)恒成立；當(dāng)時(shí)， 在上有極小值點(diǎn) ，結(jié)合可知 在上有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 恒成立，結(jié)合可知， 在上也是恒成立的，故而在上遞增恒成立.

解析：（1）定義域

故 則

若，則 在 上單調(diào)遞減；

若，則 .

（i） 當(dāng) 時(shí)，則 ，因此在 上恒有 ，即 在 上單調(diào)遞減；

（ii）當(dāng)時(shí)， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）設(shè) ,

，設(shè)，

則 .

先證明一個(gè)命題：當(dāng)時(shí)， .令， ，故在上是減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)， ，故命題成立.

若 ,由 可知， .，故 ，對任意都成立，故 在上無零點(diǎn)，因此.

（ii）當(dāng)，考察函數(shù) ，由于 在 上必存在零點(diǎn).設(shè)在 的第一個(gè)零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)， ，故 在 上為減函數(shù)，又 ，

所以當(dāng) 時(shí)， ，從而 在 上單調(diào)遞減，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令時(shí)，則有，由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù) 在 上有零點(diǎn)，符合題意.

（iii）若，則由 可知， 恒成立，從而 在 上單調(diào)遞增，也即 在上單調(diào)遞增，因此，即在 上單調(diào)遞增，從而恒成立，故方程 在 上無解.

綜上可知， 的取值范圍是 .