Question

（1）證明：對?n∈N^*，eⁿ＞

1

2

n²+n+1；
（2）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ean-a_n-1，求證：0＜a_n+1＜a_n．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)學歸納法

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）這是一個不等式恒成立問題，因此只需研究其對應的函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，求其最值即可；
（2）可以考慮采用數(shù)學歸納法證明，注意步驟要完整嚴密．

解答： 解：（1）令f(x)=ex-(

1

2

x2+x+1)(x＞0)．
所以f′（x）=e^x-x-1．
又因為f′′（x）=e^x-1＞0在（0，+∞）上恒成立，故此時f′（x）是增函數(shù)，
且f′（0）=0，故f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立．
所以f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，且f（0）=0．
所以f（x）＞f（0）=0恒成立，所以f（n）＞0，即en＞

1

2

n2+n+1．
（2）當n=1時，a₂=e-2，所以0＜a₂＜a₁．
假設當n=k（k∈N^*），有0＜a_k+1＜a_k，
由（1）知，g（x）=e^x-x-1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g（x）＞0，
所以0＜g（a_k+1）＜g（a_k）．
即0＜a_k+2＜a_k+1，
所以當n=k+1時，0＜a_k+2＜a_k+1成立．
綜上可知，對于任意的n∈N^*，都有0＜a_n+1＜a_n成立．

點評：本題考查了利用函數(shù)思想解決與數(shù)列有關(guān)的不等式恒成立問題以及數(shù)學歸納法的應用．屬于中檔題．