Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（1-x）=1，f（

x

3

）=

1

2

f（x）且當0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），則f（

1

3

）+f（

1

7

）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：反復運用條件f（x）+f（1-x）=1與f（

x

3

）=

1

2

f（x），求得f（0）、f（1），推出x∈[

1

3

，

1

2

]時，f（x）=

1

2

，
最后把x=

1

7

代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）得f（

1

7

）=

1

2

f（

3

7

），再由f（

3

7

）=

1

2

求得結果．

解答： 解：把x=0代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）得f（0）=

1

2

f（0），∴f（0）=0，
把x=1代入f（x）+f（1-x）=1可知f（1）+f（0）=1，∴f（1）=1，
∴f（

1

3

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
把x=

1

2

代入f（x）+f（1-x）=1可得f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，∴f（

1

2

）=

1

2

，
又因為0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），
所以x∈[

1

3

，

1

2

]時，f（x）=

1

2

，
把x=

1

7

代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）得f（

1

7

）=

1

2

f（

3

7

），
∵x∈[

1

3

，

1

2

]時，f（x）=

1

2

，∴f（

3

7

）=

1

2

，
∴f（

1

7

）=

1

2

f（

3

7

）=

1

4

，
∴f（

1

3

）+f（

1

7

）=

1

2

+

1

4

=

3

4

，
故答案為：

3

4

．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的性質，解答的關鍵是反復運用所給的條件，利用式子與式子之間的變換得到結論．