已知矩陣A對應的變換是先將某平面圖形上的點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉90°．
（1）求矩陣A及A的逆矩陣B；
（2）已知矩陣M=
33
24
，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=
1
8
在矩陣B的作用下變換為β，求M50β（運算結果用指數(shù)式表示）．
考點：矩陣特征值的定義,幾種特殊的矩陣變換
專題：選作題,矩陣和變換
分析：（1）利用待定系數(shù)法，求矩陣A及A的逆矩陣B；
（2）利用特征多項式，求特征值，進而可求特征向量；
（3）確定β=
26
5
1
1
-
7
5
3
-2
，再求M50β．
解答： 解：（1）矩陣A對應的變換是先將某平面圖形上的點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，為
20
01
，
將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉90°，為A=
01
-20
．
|A|=2，∴B=
0-
1
2
10
；
（2）特征多項式f（λ）=
.
λ-33
2λ-4
.
，
令f（λ）=0，解得M的特征值λ1=6，λ2=1，
設
x
y
是矩陣M屬于特征值λ2=1的特征向量，
則
33
24
x
y
=
x
y
，∴
3x+3y=x
2x+4y=y

取x=3，得
3
-2
，
同理矩陣M屬于特征值λ2=6的特征向量為
1
1
；
（3）β=
26
5
1
1
-
7
5
3
-2

∴M50β=
26
5
•650-
21
5
26
5
•650+
14
5
．
點評：本題考查矩陣的性質和應用、特征值與特征向量的計算，解題時要注意特征值與特征向量的計算公式的運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

圓x2+2x+y2-4y+3=0與直線x+y+b=0相切，正實數(shù)b的值為（　�。�
A、
1
2
B、1
C、2
2
-1
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設n是自然數(shù)，f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，經(jīng)計算可得，f（2）=
3
2
，f（4）＞2，f（8）＞
5
2
，f（16）＞3，f（32）＞
7
2
．觀察上述結果，可得出的一般結論是（　�。�
A、f（2n）＞
2n+1
2
B、f（n2）≥
n+2
2
C、f（2n）≥
n+2
2
D、f(2n)＞
n+2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右兩個焦點，若橢圓上滿足PF1⊥PF2的點P有且只有兩個，則離心率e的值為（　�。�
A、
1
3
B、
1
2
C、
2
2
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足關系式：bn=
a1+a2+a3+…an
n

（1）若bn=n，求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若{bn}是以b1為首相，以d為公差的等差數(shù)列，求證{an}也是等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為AC，AD的中點．
求證：平面BEF⊥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點，沿AE將△AED折起，如圖2所示，O、H、M分別為AE、BD、AB的中點，且DM=2．
（1）求證OH∥平面DEC；
（2）求證平面ADE⊥平面ABCE；
（3）求三棱錐H-OMB的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx-
1
2
sin2x-
3
2
cos2x（x∈R）
（1）當x∈[-
π
12
，
5π
12
]時，求函數(shù)f（x）取得最大值時的值；
（2）設銳角△ABC的內角A，B，C的對應邊分別是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量
m
=（sinB，2），
n
=（-1，sinA），
n
⊥
m
，求c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C1的極坐標方程為ρ2+6ρcosθ-2ρsinθ+6=0，曲線C2的參數(shù)方程為
x=3cosθ
y=3sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C1的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，求|AB|的長．

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