Question

已知點(diǎn)P（2，-3），Q（3，2），直線l：（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a）=0（a∈R）；
（1）求當(dāng)直線l與直線PQ平行時(shí)實(shí)數(shù)a的值；
（2）求直線l所過(guò)的定點(diǎn)（與a的值無(wú)關(guān)的點(diǎn)）M的坐標(biāo)；
（3）直線l與線段PQ（包含端點(diǎn)）相交，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若直線l與直線PQ平行，則直線PQ與l的斜率相等．因此利用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式和直線方程的斜截式，建立關(guān)于a的等式，解之可得a=-

3

11

；
（2）將直線l方程整理得（2x-y+1）+a（-x-2y+2）=0，說(shuō)明它經(jīng)過(guò)直線2x-y+1=0與直線-x-2y+2=0的交點(diǎn)，聯(lián)解直線方程可得經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）記直線l方程的左邊對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)為F（x，y），由題意可得F（2，-3）與F（3，2）的值一正一負(fù)或其中一個(gè)為0，由此建立關(guān)于a的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P（2，-3）、Q（3，2），∴直線PQ的斜率k=

-3-2

2-3

=5，
當(dāng)直線l與直線PQ平行時(shí)，直線l的斜率與PQ的斜率相等，
即

2-a

1+2a

=5，解之得a=-

3

11

；
（2）直線l：（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a）=0，整理得（2x-y+1）+a（-x-2y+2）=0，
由此可得直線l經(jīng)過(guò)直線2x-y+1=0與-x-2y+2=0的交點(diǎn)．
聯(lián)解

2x-y+1=0 -x-2y+2=0

，得x=0且y=1，
∴直線l所過(guò)的定點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）；
（3）記F（x，y）=（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a），
∵直線l與線段PQ（包含端點(diǎn)）相交，
∴P、Q兩點(diǎn)在直線l的兩旁，或其中有一點(diǎn)在直線l上，
可得F（2，-3）•F（3，2）≤0，
即[2（2-a）+3（1+2a）+（1+2a）][3（2-a）-2（1+2a）+（1+2a）]≤0，
化簡(jiǎn)得（6a+8）（-5a+5）≤0，解之得a≤-

4

3

或a≥1，
即當(dāng)直線l與線段PQ（包含端點(diǎn)）相交時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

4

3

]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有參數(shù)的直線方程與兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)，求滿足特定條件時(shí)參數(shù)a的值或范圍．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關(guān)系和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．