Question

（本小題滿分14分） 設函數(shù)，．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；

（Ⅲ）如果對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ） ①當時，函數(shù)在上單調遞增,②當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）18；（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導，根據(jù)的不同取值，討論的符號，即可函數(shù)的單調性；

（Ⅱ） 存在，使得等價于在區(qū)間上，，對函數(shù)求導，研究其單調性與最值即可；

（Ⅲ）任意的，都有成立等價于在區(qū)間上，函數(shù)，由導數(shù)與函數(shù)單調性與最值關系，分別求函數(shù)的最小值與函數(shù)的最大值，解不等式即可.

試題解析：（Ⅰ）, 定義域（0，） 1分

①當時，，函數(shù)在上單調遞增, 2分

②當時，，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.

，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為. 4分

（Ⅱ）存在，使得成立,

等價于. 5分

考察

			0				3
		+	0	-	0	+
		遞增		遞減		遞增	15

由上表可知，

，

所以滿足條件的最大整數(shù)． 9分

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）可知，在上是減函數(shù)，

在上增函數(shù)，而

的最大值是1. 10分

要滿足條件，則只需當時，恒成立,

等價于恒成立,

記，，. 11分

當時,即函數(shù)在區(qū)間上遞增，

當時,即函數(shù)在區(qū)間上遞減，

取到極大值也是最大值． 13分

所以. 14分

另解:設，

由于，

所以在上遞減，又

當時，時，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減， 13分

所以，所以. 14分

考點：導數(shù)與函數(shù)單調性、極值、最值，不等式恒成立問題的化歸與轉化.