Question

【題目】設f（x）=et（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）
（Ⅰ）若t=1，證明x=1是函數(shù)f（x）的極小值點；
（Ⅱ）求證：f（x）≥0．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）， 若t=1，則f（x）=ex﹣1﹣lnx，
因為f′（1）=0，
且0＜x＜1時， ，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
x＞1時， ，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；…（5分）
所以x=1是函數(shù)f（x）的極小值點；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），t＞0. ；
令 ，則 ，故g（x）單調(diào)遞增．
又g（1）=0，
當x＞1時，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）單增，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當0＜x＜1時，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）單減，
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）
所以x∈（0，+∞）時，f（x）≥f（1）=1≥0成立
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值，判斷即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．