Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，方程有實根，求實數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）0.

【解析】

(1)根據(jù)建立關(guān)于a的方程求出a的值.

(2)本小題實質(zhì)是在區(qū)間上恒成立，

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立,

然后再討論a=0和兩種情況研究.

(2)時，方程可化為，,

問題轉(zhuǎn)化為在上有解，

利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)區(qū)間極值最值，從而求出值域，問題得解.

（1）．

因為為的極值點，所以．

即，解得．

又當(dāng)時，，從而的極值點成立．

（2）因為在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以在區(qū)間上恒成立．

①當(dāng)時，在上恒成立，所以上為增函數(shù)，故,符合題意．

②當(dāng)時，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以對

上恒成立．

令，其對稱軸為，

因為所以，從而上恒成立，只要即可，

因為，

解得．因為，所以．

綜上所述，的取值范圍為．

（3）若時，方程可化為，．

問題轉(zhuǎn)化為在上有解，

即求函數(shù)的值域．

因為，令，

則，

所以當(dāng)時，，從而在上為增函數(shù)，

當(dāng)時，，從而在上為減函數(shù)，

因此．

而，故，

因此當(dāng)時，取得最大值0．