Question

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)(2，

2

)
（1）求函數(shù)的解析式．
（2）求函數(shù)的定義域與值域．
（3）判斷函數(shù)單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì),冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)出冪函數(shù)的解析式，由于過定點(diǎn)，從而可解得函數(shù)的解析式，
（2）由解析式直接求出定義域和值域，
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)f（x）=x^α，又函數(shù)圖象過定點(diǎn)（2，

2

），∴2^α=

2

，∴α=

1

2

，
∴f（x）=

x

，
（2）由函數(shù)f（x）=

x

可知定義域?yàn)閇0，+∞），值域?yàn)閇0，+∞），
（3）f（x）為增函數(shù)，理由如下
設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

x1

-

x2

=

x1-x2

x1 + x2

＜0，
∴f（x）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性的證明，屬于基礎(chǔ)題．