Question

【題目】已知四棱錐，底面為菱形，,為上的點，過的平面分別交，于點，，且平面．

（1）證明：；

（2）當為的中點，，與平面所成的角為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見證明(2)

【解析】

（1）連結(jié)、且，連結(jié)，先證明平面，可得，再利用線面平行的性質(zhì)定理證明，從而可得結(jié)論；（2）利用（1）可證明平面,利用與平面所成的角為求出線段間的等量關(guān)系，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，求出，再利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

（1）

連結(jié)、且，連結(jié)．

因為，為菱形，所以，，

因為，，所以，，

因為，且、平面，

所以，平面，

因為，平面，所以，，

因為，平面，

且平面平面，

所以，，

所以，．

（2）

由（1）知且，

因為，且為的中點，

所以，，所以，平面,

所以與平面所成的角為，所以，

所以，，，因為，，所以，.

以，，分別為，，軸，如圖所示建立空間直角坐標系

記，所以，，，，，，，，

所以， ，，

記平面的法向量為，所以，即，

令，解得，，所以，，

記與平面所成角為，所以，.

所以，與平面所成角的正弦值為.