Question

【題目】己知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及即可；

（2）對參數(shù)的值進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（1）的定義域?yàn)?/span>，

則在上單調(diào)遞增

又，所以當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

即的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

故的極小值為，無極大值

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知

故僅有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，令；

令，所以在上單調(diào)遞增；

令，所以在上單調(diào)遞減，且，，

所以，最小值與0的比較等價(jià)于與0的大小比較，

所以分三類進(jìn)行討論：

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由在上單調(diào)遞減及在上單調(diào)遞增，且，

由零點(diǎn)存在定理，得在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為所以

				0
		0		0
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

又及

由零點(diǎn)存在定理，得在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，

綜上，當(dāng)時(shí)，在上存在2個(gè)零點(diǎn)（一個(gè)為，一個(gè)為）；

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由在上單調(diào)遞減及在上單調(diào)遞增，

且，得在上單調(diào)遞增，

故在上只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，同理可得在上存在2個(gè)零點(diǎn)：一個(gè)為，一個(gè)為

綜上可得，當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)且時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).