Question

【題目】已知，數(shù)列A：，，…中的項(xiàng)均為不大于的正整數(shù).表示，，…中的個(gè)數(shù)（）.定義變換，將數(shù)列變成數(shù)列：，，…其中.

（1）若，對數(shù)列：，寫出的值；

（2）已知對任意的（），存在中的項(xiàng)，使得.求證： （）的充分必要條件為（）；

（3）若，對于數(shù)列：，，…，令：，求證：（）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)定義,表示,,…中的個(gè)數(shù),即可由數(shù)列得的值.

（2）根據(jù)對任意的（）,存在中的項(xiàng),使得,由充分必要條件的判定,分必要性與充分性兩步分別證明即可.

（3）設(shè)：,,…的所有不同取值為,且滿足：.設(shè).根據(jù),結(jié)合題意中的變換可得：,,,即可證明（）.

（1）∵,對數(shù)列:,

∴.

（2）證明：由于對任意的正整數(shù)（）,存在中的項(xiàng),使得.所以均不為零.

必要性：（）,由于,

∴；；；…；.

通過解此方程組,可得（）成立.

充分性：若（）成立,不妨設(shè)（）,可以得到

∴；；；…；.

∴（）成立.

故（）的充分必要條件為（）

（3）證明：設(shè)：,,…的所有不同取值為,且滿足：.

不妨設(shè),

其中；；…；.

又∵,根據(jù)變換有：；；…；；

∴：,,,

即：,,,

∴：,,,

∵,

∴,,…,.

∴,

即：,,,

從而（）.

故（）