Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立時(shí)，若實(shí)數(shù)a的最大值為3，則實(shí)數(shù)m的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得|2x+m|+|x-1|的最小值為3，設(shè)f（x）=|2x+m|+|x-1|=2|x+

m

2

|+|x-1|，分①當(dāng)

m

2

≥-1時(shí)，
②當(dāng)

m

2

＜-1時(shí)兩種情況，分別求得f（x）的最小值，再根據(jù)函數(shù)的最小值為3求得實(shí)數(shù)m的范圍．

解答： 解：不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立時(shí)，
由于實(shí)數(shù)a的最大值為3，
則|2x+m|+|x-1|的最小值為3．
設(shè)f（x）=|2x+m|+|x-1|=2|x+

m

2

|+|x-1|，
①當(dāng)

m

2

≥-1時(shí)，
則有f（x）=

3x+m-1 ，x＞1 x+m+m ，- m 2 ≤x≤1 -3x-m+1 ，x＜- m 2

，
其圖象如圖所示，當(dāng)x=-

m

2

時(shí)，
取得最小值f（-

m

2

）=

m

2

+1；
②當(dāng)

m

2

＜-1時(shí)，
則有f（x）=

3x+m-1 ，x＞- m 2 -x-m-1 ，1≤x≤- m 2 -3x-m+1 ，x＜1

，
當(dāng)x=-

m

2

時(shí)，取得最小值f（-

m

2

）=-

m

2

-1；
由題意，若實(shí)數(shù)a的最大值為3，則

m

2

+1=3或-

m

2

-1=3，
∴m=4，或m=-8．
故答案為：4或-8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，以及恒成立問題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．