Question

如圖，底面ABCD為菱形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所有棱長都為2，∠BAD=60°，E為BB₁的延長線上一點，D₁E⊥面D₁AC．
（1）求線段B₁E的長度及三棱錐E-D₁AC的體積V E-D1AC；
（2）設AC和BD交于點O，在線段D₁E上是否存在一點P，使EO∥面A₁C₁P？若存在，求D₁P：PE的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系．由題意可得A(

3

，-1，0)，C（0，2，0），D₁（0，0，2），
B(

3

，1，0)，B1(

3

，1，2)．設E(

3

，1，z)，利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得E，
再利用三棱錐E-D₁AC的體積V E-D1AC=

1

3

•SACD1•|D1E|即可得出．
（2）假設在線段D₁E上存在一點P，使EO∥面A₁C₁P．連接A₁C₁、B₁D₁，相交于點O₁，連接O₁P，則O₁P∥OE．另一方面

D1P

=μ

D1E

．利用向量共線定理即可得出．

解答： 解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系．
由題意可得A(

3

，-1，0)，C（0，2，0），D₁（0，0，2），
B(

3

，1，0)，B1(

3

，1，2)．
設E(

3

，1，z)，

D1E

=(

3

，1，z-2)，

D1A

=(

3

，-1，-2)，

D1C

=（0，2，-2）．
∵D₁E⊥面D₁AC，∴

D1E • D1A =3-1-2(z-2)=0 D1E • D1C =2-2(z-2)=0

，解得z=3．
∴E(

3

，1，3)．
∴|B₁E|=2．
∵|D₁A|=2

2

=|D₁C|，|AC|=2

3

，
∴S△ACD1=

1

2

×2

3

×

(2 2 )2-( 3 )2

=

15

，
∵|D₁E|=

( 3 )2+1+(3-2)2

=

5

．
∴三棱錐E-D₁AC的體積V E-D1AC=

1

3

•SACD1•|D1E|=

1

3

×

15

×

5

=

5 3

3

．
（2）假設在線段D₁E上存在一點P，使EO∥面A₁C₁P．
連接A₁C₁、B₁D₁，相交于點O₁，連接O₁P，則O₁P∥OE．
O(

3

2

，

1

2

，0)，O₁(

3

2

，

1

2

，2)，
∴

O1P

=λ

OE

=λ(

3

2

，

1

2

，3)，
∴

x- 3 2 = 3 2 λ y- 1 2 = 1 2 λ z-2=2λ

，
另一方面

D1P

=μ

D1E

，
∴

x= 3 μ y=μ z-2=μ

，
解得x=

2 3

3

，y=

2

3

，z=

8

3

，λ=

1

3

，μ=

2

3

．
∴P(

2 3

3

，

2

3

，

8

3

)．
∴

D1P

=

2

3

D1E

，
∴

D1P

PE

=2．

點評：本題考查了建立空間直角坐標系解決線面垂直、向量共線、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．