考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)如圖所示,建立空間直角坐標系.由題意可得A
(,-1,0),C(0,2,0),D
1(0,0,2),
B
(,1,0),
B1(,1,2).設E
(,1,z),利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得E,
再利用三棱錐E-D
1AC的體積V
E-D1AC=
•SACD1•|D1E|即可得出.
(2)假設在線段D
1E上存在一點P,使EO∥面A
1C
1P.連接A
1C
1、B
1D
1,相交于點O
1,連接O
1P,則O
1P∥OE.另一方面
=μ.利用向量共線定理即可得出.
解答:
解:(1)如圖所示,建立空間直角坐標系.
由題意可得A
(,-1,0),C(0,2,0),D
1(0,0,2),
B
(,1,0),
B1(,1,2).
設E
(,1,z),
=
(,1,z-2),
=
(,-1,-2),
=(0,2,-2).
∵D
1E⊥面D
1AC,∴
| •=3-1-2(z-2)=0 | •=2-2(z-2)=0 |
| |
,解得z=3.
∴E
(,1,3).
∴|B
1E|=2.
∵|D
1A|=
2=|D
1C|,|AC|=2
,
∴
S△ACD1=
×2×=
,
∵|D
1E|=
=
.
∴三棱錐E-D
1AC的體積V
E-D1AC=
•SACD1•|D1E|=
××=
.
(2)假設在線段D
1E上存在一點P,使EO∥面A
1C
1P.
連接A
1C
1、B
1D
1,相交于點O
1,連接O
1P,則O
1P∥OE.
O
(,,0),O
1(,,2),
∴
=λ=
λ(,,3),
∴
,
另一方面
=μ,
∴
,
解得x=
,y=
,z=
,
λ=,μ=
.
∴
P(,,).
∴
=,
∴
=2.
點評:本題考查了建立空間直角坐標系解決線面垂直、向量共線、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.