Question

定義在R上的函數(shù)f（x），滿足對任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）如果f（4）=1，f（x-1）＜2，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，試求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，推出f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可判斷判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）通過f（4）=1，求出f（8），化簡f（x-1）＜2，利用f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，以及函數(shù)的奇偶性，得到不等式，即可求實數(shù)x的取值范圍．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=0；…（2分）
令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），…（4分）
即f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)…（6分）
（2）∵f（4）=1，∴f（8）=f（4）+f（4）=2，…（7分）
∴原不等式化為f（x-1）＜f（8）…（9分）
又f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，f（0）=0且f（x）是奇函數(shù)，…（10分）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．因此x-1＜8，…（12分）
∴x＜9．∴實數(shù)x的取值范圍是（-∞，9）…（14分）

點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，賦值法以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．