Question

如圖，正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為BB₁、D₁B₁中點．
（1）A₁D與面BDD₁所成角的正弦值；
（2）二面角A-B₁D₁-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：對于第（1）問，先作出線面角，再將此角放一個三角形中，只需解三角形即可；
對于第（2）問，根據二面角的定義，作出此二面角的平面角，再將此角放在一個三角形中，解此三角形即可．

解答： 解：（1）連結A₁F，則A₁F⊥B₁D₁，又由正方體的幾何特征知A₁F⊥BB₁，
∴A₁F⊥平面BDD₁．
連結DF，則∠A₁DF為直線A₁D與平面BDD₁所成角，
在直角△A₁DF中，sin∠A₁DF=

A1F

A1D

=

1 2 B1D1

A1D

=

1

2

，
即A₁D與面BDD₁所成角的正弦值．
（2）連結AF，BF，AD₁，AB₁，CB₁，CD₁，
∵F為等腰△AB₁D₁和等腰△CB₁D₁的中點，∴B₁D₁⊥AF，且B₁D₁⊥CF，
∴∠AFC為二面角A-B₁D₁-C的平面角，
連結AC，設正方體的棱長為a，
則在△AFC中，由余弦定理得cos∠AFC=

AF2+CF2-AC2

2AF•CF

．
而AF=

AA 2 1 +A1F2

=

3 2

a=CF，AC=

2

a，
∴cos∠AFC=

3 2 a2+ 3 2 a2-2a2

2× 3 2 a2

=

1

3

，
即二面角A-B₁D₁-C的平面角的余弦值為

1

3

．

點評：本題考查了線面角的作法與求法，二面角的定義及二面角的求法，對于空間角的求法，一般步驟是：
（1）根據空間角的定義作出對應的平面角；
（2）將此平面角放在某一個三角形中，再解此三角形．
注意體會將空間角化平面角的解題意識．