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如圖,正方體中ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為BB1、D1B1中點.
(1)A1D與面BDD1所成角的正弦值;
(2)二面角A-B1D1-C的平面角的余弦值.
考點:與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角
專題:空間角
分析:對于第(1)問,先作出線面角,再將此角放一個三角形中,只需解三角形即可;
對于第(2)問,根據二面角的定義,作出此二面角的平面角,再將此角放在一個三角形中,解此三角形即可.
解答: 解:(1)連結A1F,則A1F⊥B1D1,又由正方體的幾何特征知A1F⊥BB1
∴A1F⊥平面BDD1
連結DF,則∠A1DF為直線A1D與平面BDD1所成角,
在直角△A1DF中,sin∠A1DF=
A1F
A1D
=
1
2
B1D1
A1D
=
1
2
,
即A1D與面BDD1所成角的正弦值.
(2)連結AF,BF,AD1,AB1,CB1,CD1,
∵F為等腰△AB1D1和等腰△CB1D1的中點,∴B1D1⊥AF,且B1D1⊥CF,
∴∠AFC為二面角A-B1D1-C的平面角,
連結AC,設正方體的棱長為a,
則在△AFC中,由余弦定理得cos∠AFC=
AF2+CF2-AC2
2AF•CF

AF=
AA
2
1
+A1F2
=
3
2
a=CF,AC=
2
a

∴cos∠AFC=
3
2
a2+
3
2
a2-2a2
3
2
a2
=
1
3
,
即二面角A-B1D1-C的平面角的余弦值為
1
3
點評:本題考查了線面角的作法與求法,二面角的定義及二面角的求法,對于空間角的求法,一般步驟是:
(1)根據空間角的定義作出對應的平面角;
(2)將此平面角放在某一個三角形中,再解此三角形.
注意體會將空間角化平面角的解題意識.
練習冊系列答案
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