Question

已知拋物線C：y²=2x，O為坐標原點，經(jīng)過點M（2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點，P為拋物線C上一點．
（Ⅰ）若直線l垂直于x軸，求|

1

kPA

-

1

kPB

|的值；
（Ⅱ）求三角形OAB的面積S的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）不妨設(shè)A（2，2），B（2，-2），P（

t2

2

，t），利用斜率公式，即可求|

1

kPA

-

1

kPB

|的值；
（Ⅱ）設(shè)l：x=ky+2，代入y²=2x中，利用韋達定理、弦長公式表示出面積，即可求三角形OAB的面積S的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）不妨設(shè)A（2，2），B（2，-2），P（

t2

2

，t），則
|

1

kPA

-

1

kPB

|=|

t2 2 -2

t-2

-

t2 2 -2

t+2

|=2；
（Ⅱ）設(shè)l：x=ky+2，代入y²=2x中，可得y²-2ky-4=0
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2k，y₁y₂=-4，
∴|AB|=

1+k2

•

4k2+16

，
∴三角形OAB的面積S=

1

2

•

2

1+k2

•

1+k2

•

4k2+16

=2

k2+4

≥4，
∴三角形OAB的面積S的取值范圍為[4，+∞）．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積的計算，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．