Question

已知函數f(x)=lg

2-x

2+x

．
（I）求f（x）的定義域，并判斷其單調性；
（II）解關于x的不等式f[x（x-1）]＜0．

Answer 1

分析：（I）令對數函數的真數大于0，解分式不等式求出x的范圍寫出區(qū)間形式即為定義域；將真數分離常數，利用反比例函數的單調性結合復合函數的單調性：同增異減判斷出函數的單調性．
（II）由（I）判斷f（x）是在（-1，1）的減函數，再將不等式轉化為具體不等式，即可求得結論．

解答：解：（I）由題意得 

2-x

2+x

＞0解得-2＜x＜2，
∴函數f（x）的定義域為{x|-2＜x＜2}
∵令t=

2-x

2+x

=

4

2+x

-1在（-1，1）遞減
∵y=lgt在定義域上為增函數
∴f(x)=lg

2-x

2+x

在（-1，1）遞減；
（II）由（I）知f(x)=lg

2-x

2+x

在（-1，1）遞減，且f（0）=0，
∴原不等式可化為：x（x-1）＞0，
解不等式組

x(x-1)＞0 -2＜x(x-1)＜2

得-1＜x＜0或1＜x＜2，
∴原不等式的解集為{x|-1＜x＜0或1＜x＜2}．

點評：解決判斷函數的奇偶性，應該先求出函數的定義域，定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件；判斷復合函數的單調性利用其法則：同增異減進行判斷．