Question

已知函數(shù)f（x）=

(1+sinx)(3+sinx)

2+sinx

，g（x）=ax+1（a＞0），對任意的x₂∈[-1，1]，總存在x₁∈[π，

3π

2

]，使f（x₁）=g（x₂），則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由任意的x₂∈[-1，1]，總存在x₁∈[π，

3π

2

]，使f（x₁）=g（x₂），可得g（x）=ax+1在x₂∈[-1，1]的值域為f（x）在x₁∈[π，

3π

2

]的值域的子集，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，可得結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x₁∈[π，

3π

2

]時，sinx∈[-1，0]，
令t=sinx，則y=f（x）=

(1+sinx)(3+sinx)

2+sinx

=

(1+t)(3+t)

2+t

=t+2-

1

t+2

，
由y=t+2-

1

t+2

在[-1，0]上為增函數(shù)，
故y∈[0，

3

2

]，
任意的x₂∈[-1，1]，總存在x₁∈[π，

3π

2

]，使f（x₁）=g（x₂），
∴當(dāng)x₂∈[-1，1]時，g（x₂）⊆[0，

3

2

]
∵a＞0，
∴

-a+1≥0 a+1≤ 3 2

，解得0＜a≤

1

2

，
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，

1

2

]
故答案為：（0，

1

2

]

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)已知分析出“g（x）=ax+1在x₂∈[-1，1]的值域為f（x）在x₁∈[π，

3π

2

]的值域的子集”是解答的關(guān)鍵．