已知數(shù)列{a
n}中,a
1=1,a
2=
,且a
n+1=
(n=2,3,4…),S
n為數(shù)列{b
n}的前n項和,且4S
n=b
nb
n+1,b
1=2(n=1,2,3…).
(1)求數(shù)列{b
n},{a
n}的通項公式;
(2)設(shè)c
n=b
n•
2+,求數(shù)列{c
n}的前n項的和P
n;
(3)(選做)證明:對一切n∈N
*,有
∞ |
 |
n=1 |
a
n2<
.
考點:數(shù)列與不等式的綜合
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出b
1=2,b
n+1-b
n-1=4,(n≥2),當n為奇數(shù)時,b
n=2n;當n為偶數(shù)時,b
n=2n.由此能求出數(shù)列{a
n}的通項公式.
(2)由已知,對n≥2有
-
=-(
-
),由此能求出數(shù)列{b
n}的通項公式.
(3)當k≥2,
ak2=
<
<
(
-
),由此能夠證明對一切n∈N
*,有
∞ |
 |
n=1 |
a
n2<
.
解答:
(1)解:由已知b
1=2,4S
n=b
nb
n+1,得b
2=4,
4S
n-1=b
n-1b
n,n≥2,4b
n=b
n(b
n+1-b
n-1),
由題意b
n≠0,即b
n+1-b
n-1=4,(n≥2),
當n為奇數(shù)時,b
n=2n;當n為偶數(shù)時,b
n=2n.
所以數(shù)列{a
n}的通項公式為b
n=2n,n∈N
*.…(4分)
(2)解:由已知,對n≥2有
=
-,
兩邊同除以n,整理得
-
=-(
-
)
于是利用疊加法可得
-
=-(1-
),n≥2,
∴
=
,
∴a
n=
,n≥2,又n=1時也成立,
∴a
n=
,n∈N
*.
∴c
n=2n•2
n,P
n=4+(n-1)•2
n+2.…(8分)
(3)證明:當k≥2,有
ak2=
<
<
(
-
),
∴n≥2時,有
∞ |
 |
n=1 |
a
n2<1+
[(
-
)+(
-
)+…+(
-
)]
=1+
(
-
)<1+
=
.
當n=1時,也成立.
故對一切n∈N
*,有
∞ |
 |
n=1 |
a
n2<
.…(14分)
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查數(shù)列前n項和的求法,考查不等式的證明,解題時要認真審題,注意裂項求和法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
下列四個命題中,真命題的個數(shù)有( )
①若a,b,c∈R,則“ac
2>bc
2”是“a>b”成立的充分必要條件;
②命題“?x∈R使得x
2+x+1>0的否定是“?x∈R均有x
2+x+1≤0”;
③命題“若|x|≥2,則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|<2,則-2<x<2”;
④函數(shù)f(x)=lnx+x-
在區(qū)間(1,2)上有且僅有一個零點.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:

如圖所示,在三棱錐P-ABC中,E、F分別為AC、BC的中點.
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(3)若PB=AB=CB,ABC=120°,PB⊥面ABC,求二面角P-AC-B的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知集合A={x|4-2k<x<2k-8},B={x|-k<x<k},若A⊆B,則實數(shù)k的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知f(x)為R上增函數(shù),且對任意x∈R,都有f[f(x)-3
x]=4,則f(2)=
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,BC⊥平面PAB,且PA=P,O是AB的中點,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,BC=1,AB=2,AD=3.
(1)求證:平面PAC⊥平面POC;
(2)若PA=3,Q是PB的中點,求三棱錐Q-OBC與三棱錐P-OCD的體積比.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
一束光線l自A(1,0)發(fā)出,射到直線m:x+y+1=0上,被直線m反射到圓x
2+y
2-6x-2y+9=0上的點B.

(1)當反射線通過圓心C時,求入射光線l的方程;
(2)求光線由A到達B的最短路徑的長.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( 。

A、1200+72π |
B、B、1200+144π |
C、1600+72π |
D、1600+144π |
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