Question

下列四個命題中，真命題的個數(shù)有（　�。�
①若a，b，c∈R，則“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分必要條件；
②命題“?x∈R使得x²+x+1＞0的否定是“?x∈R均有x²+x+1≤0”；
③命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|＜2，則-2＜x＜2”；
④函數(shù)f（x）=lnx+x-

3

2

在區(qū)間（1，2）上有且僅有一個零點．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①，利用充分必要條件的概念，通過正確推理與舉反例可判斷①；
②，寫出命題“?x∈R使得x²+x+1＞0的否定為全稱命題“?x∈R均有x²+x+1≤0”，可判斷②；
③，寫出命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題“若|x|＜2，則-2＜x＜2”，可判斷③；
④，易求f′（x）=）=

1

x

+1＞1＞0，且f（1）＜0，f（2）＞0，利用零點存在定理，可判斷④．

解答： 解：對于①，若a，b，c∈R，則ac²＞bc²⇒a＞b，充分性成立；
反之，若a＞b，則ac²＞bc²不成立，如c=0時，ac²=bc²=0，即必要性不成立，故“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分不必要條件，故①錯誤；
對于②，命題“?x∈R使得x²+x+1＞0”的否定是“?x∈R均有x²+x+1≤0”，故②正確；
對于③，命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是對原命題的條件否定后作條件，結(jié)論否定后作結(jié)論，即“若|x|＜2，則-2＜x＜2”，故③正確；
對于④，因為函數(shù)f（x）=lnx+x-

3

2

（x＞0）的導數(shù)f′（x）=

1

x

+1＞1＞0，
所以f（x）=lnx+x-

3

2

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（1）=ln1+1-

3

2

=-

1

2

＜0，f（2）=ln2+2-

3

2

=ln2+

1

2

＞0，
由零點存在定理知，f（x）=lnx+x-

3

2

在區(qū)間（1，2）上有且僅有一個零點，故④正確．
綜上所述，四個命題中，真命題的個數(shù)有3個，
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查充分必要條件、全稱命題與特稱命題之間的關(guān)系及真假判斷，考查四種命題及零點存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題．