Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥ABCD，AD=2，∠BAD=60°．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）當二面角A-PC-B的余弦值為

21

7

時，求直線PB與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的對角線互相垂直及線面垂直的性質(zhì)，可得AC⊥BD，PA⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BD⊥面 PAC，再由面面垂直的判定定理可得面PBD⊥面PAC；（2）過B作BE⊥AD于點E，連結(jié)PE．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BE，結(jié)合PA∩AD=A證出BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直線PB與平面PAD所成角．Rt△BPE中，利用三角函數(shù)的定義算出．

解答： 證明：（1）因為四邊形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD
因為PA⊥平面ABCD，
所有PA⊥BD，
又因為PA∩AC=A，
所以BD⊥面 PAC．
而BD?面PBD，
所以面PBD⊥面PAC．
（2）過B作BE⊥AD于點E，連結(jié)PE
∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴PA⊥BE
∵BE⊥AD，PA∩AD=A
∴BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直線PB與平面PAD所成角
∵Rt△BPE中，BE=

3

，PE=

PA2+AE2

=

5

，PB=2

2

，
∴cos∠BPE=

PE

PB

=

6

4

．

點評：本題在特殊的四棱錐中證明線面垂直、求直線與平面所成角并求二面角的余弦值．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面所成角的求法和二面角的定義與求法等知識，屬于中檔題．