Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=a^x-x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)；
（2）對(duì)x∈R使f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，討論0＜a＜1，a＞1，求得單調(diào)性，進(jìn)而確定極值；
（2）分析0＜a＜1時(shí)，a^x≥x在R上不可能恒成立，則a＞1，由（1）可得，f（x）在x=x₀處取得極小值，且為最小值，對(duì)x∈R使f（x）≥0恒成立，則f（x₀）≥0，解不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=a^x-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a^xlna-1=lna（a^x-

1

lna

），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在R上遞減，無極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞1時(shí)，由a^x=

1

lna

，得x=-

ln(lna)

lna

，f′（x）＞0，可得，x＞-

ln(lna)

lna

，
f′（x）＜0，可得，x＜-

ln(lna)

lna

，
則x₀=-

ln(lna)

lna

為f（x）的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由y=a^x和y=x的圖象可得a^x≥x在R上不可能恒成立．
則a＞1．
由（1）得x₀=-

ln(lna)

lna

，當(dāng)x＜x₀，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＞x₀，f′（x）＞0，f（x）遞增，則有f（x）在x=x₀處取得極小值，且為最小值．
對(duì)x∈R使f（x）≥0恒成立，則f（x₀）≥0，則

1

lna

≥-

ln(lna)

lna

，
即有l(wèi)n（lna）≥-1，即lna≥

1

e

，解得，a≥e

1

e

．
則當(dāng)a≥e

1

e

時(shí)，f（x）≥0對(duì)x∈R恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．