Question

已知y=f（x）在（0，+∞）上有意義，且單調(diào)遞增，滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）的值；
（2）若f（x+3）≤2-f（x），求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1即求得f（1）=0；
（2）令x=y=2即求得f（4）=2；依題意，可求f（x（x+3））≤f（4），利用函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），且單調(diào)遞增，即可求得x的取值范圍．

解答： 解（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
（2）令x=y=2，
則f（4）=f（2）+f（2），
又f（2）=1，
∴f（4）=1+1=2
∵f（x+3）≤2-f（x），
∴f（x+3）+f（x）≤2，
∴f（x²+3x）≤f（4），
∵y=f（x）在（0，+∞）上有意義，且單調(diào)遞增，
∴x²+3x≤4，
解得0＜x≤1．
故x的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法即函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．