Question

已知關(guān)于x的不等式（log₂x）²-2log₂x-3）≤0的解集為M．
（1）求集合M；
（2）若x∈M，求函數(shù)f（x）=[log₂（2x）]•（log₂

x

32

）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接求解關(guān)于log₂x的一元二次不等式得log₂x的范圍，進(jìn)一步求解對(duì)數(shù)不等式得答案；
（2）把已知的函數(shù)展開(kāi)，換元后利用配方法求最值．

解答： 解：（1）由（log₂x）²-2log₂x-3≤0，得
-1≤log₂x≤3，即

1

2

≤x≤8．
∴M=[

1

2

，8]；
（2）f（x）=[log₂（2x）]•（log₂

x

32

）
=(1+log2x)(log2x-5)=(l0g2x)2-4log2x-5．
設(shè)t=log₂x，t∈[-1，3]，f（t）=t²-4t-5．
當(dāng)t=2時(shí)，即x=4時(shí)，f（x）_min=-9；
當(dāng)t=-1時(shí)，即x=

1

2

時(shí)，f（x）_max=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了配方法，是中檔題．