在R上定義運算?:x?y=x(l-y),若對任意x>2,不等式(x-a)?x≤a+2都成立,則實數(shù)a的取值范圍是( �。�
A、(-∞,-3)
B、(-∞,7]
C、(-∞,1]
D、(-∞,1]∪[7,+∞)
考點:其他不等式的解法
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用
分析:依題意,由新定義:x?y=x(l-y)可得,a≤
x2-x+2
x-2
=
[(x-2)+2]2-(x-2)
x-2
=(x-2)+
4
x-2
+3(x>2)恒成立,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-2)+
4
x-2
+3(x>2),利用基本不等式可求得f(x)min,從而可得實數(shù)a的取值范圍.
解答: 解:由(x-a)?x≤a+2,得(x-a)(1-x)≤a+2,即a(x-2)≤x2-x+2,
因為對任意x>2,不等式(x-a)?x≤a+2都成立,
所以,a≤
x2-x+2
x-2
=
[(x-2)+2]2-(x-2)
x-2
=(x-2)+
4
x-2
+3(x>2)恒成立,
令f(x)=(x-2)+
4
x-2
+3(x>2),
則a≤f(x)min,因為對任意x>2,f(x)=(x-2)+
4
x-2
+3≥2
(x-2)•
4
x-2
+3=7,當且僅當x-2=
4
x-2
,即x=4時取“=”.
所以,a≤7.
故選:B.
點評:本題考查新定義運算“?”,考查不等式的解法及“雙鉤”函數(shù)的性質(zhì)及其應用,考查等價轉(zhuǎn)化思想與恒成立問題,考查運算求解能力,屬于中檔題.
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