Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面△ADE為等邊三角形，底面BCDE是等腰梯形，且CD∥BE，DE=2，CD=4，∠CDE=60°，M為DE的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，且AC=4．
（1）求證：平面AED⊥平面BCD；
（2）求證：FB∥平面ADE；
（3）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明AM⊥平面BCD，然后根據(jù)平面垂直的判定定理證明平面ADE⊥平面BCD．
（2）取DC中點(diǎn)N，首先證明FN∥平面ADE，然后再證明BN∥平面ADE，再根據(jù)平面與平面平行的判定定理證明平面ADE∥平面FNB，最后由面面平行的性質(zhì)證明FB∥平面ADE．
（3）由AM⊥平面BCD，AM=

3

，由此能求出四棱錐A-BCDE的體積．

解答： （1）證明：∵△ADE是等邊三角形，DE=2，M是DE的中點(diǎn)，
∴AM⊥DE，AM=

3

，
∵底面BCDE是等腰梯形，
且CD∥BE，DE=2，CD=4，∠CDE=60°，
M為DE的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，且AC=4
∴在△DMC中，DM=1，MC²=16+1-2×4×1×cos60°=13，
即MC=

13

，
在△AMC中，AM²+MC²=3+13=16=AC²，
∴AM⊥MC，
又AM⊥DE，MC∩DE=M，∴AM⊥平面BCD，
∵AM?平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCD．
（2）證明：取DC的中點(diǎn)N，連結(jié)FN，NB，
∵F，N分別是AC，DC的中點(diǎn)，
∴FN∥AD，
∵FN不包含于平面ADE，AD?平面ADE，
∴FN∥平面ADE，
∵N是DC的中點(diǎn)，∴BC=NC=2，
又∠CDE=60°，∴△BCN是等邊三角形，
∴BN∥DE，∵FN∩BN=N，∴平面ADE∥平面FNB，
∵FB⊆平面FNB，∴FB∥平面ADE．
（3）解：由（1）知AM⊥平面BCD，AM=

3

，
∵底面BCDE是等腰梯形，且CD∥BE，DE=2，CD=4，∠CDE=60°，
∴BE=4-1-1=2，等腰梯形BCDE的高為

3

，
∴四棱錐A-BCDE的體積：
V=

1

3

×S梯形BCDE×AM
=

1

3

×(4+2)×

3

2

×

3

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．