Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3
（1）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＜2時，討論函數(shù)f（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，令它大于0，得單調(diào)增區(qū)間，令小于0，得減區(qū)間，從而求出極值；
（2）對a討論：a=0，a＜0，0＜a＜2三種，分別求出單調(diào)區(qū)間和極值，判斷它們的符號，從而確定函數(shù)的零點個數(shù)．

解答： 解：f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1），
（1）當(dāng)a=-2時，f'（x）=-6（x+1）（x-1），
令f'（x）=0得x₁=1，x₂=-1，
f'（x）＜0時，x＜-1或x＞1；f'（x）＞0時，-1＜x＜1．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），
f（x）_極小值=f（-1）=-7，f（x）_極大值=f（1）=1．
（2）①若a=0，則f（x）=-3（x-1）²
∴f（x）只有一個零點．
②若a＜0，f′（x）=0的兩根為x1=

2

a

，x2=1，則

2

a

＜1，
∴當(dāng)x＜

2

a

或x＞1時，f'（x）＜0，當(dāng)

2

a

＜x＜1時，f'（x）＞0
∴f（x）的極大值為f(1)=-

a

2

＞0∵f（x）的極小值為f(

2

a

)=-

4

a2

+

6

a

-3＜0
∴f（x）有三個零點．
③若0＜a＜2，則

2

a

＞1，
∴當(dāng)x＜1或x＞

2

a

時，f'（x）＞0，當(dāng)

2

a

＜x＜1時，f'（x）＜0，
∴f（x）的極大值為f(1)=-

a

2

＜0
∴f（x）有一個零點．
綜上，當(dāng)a＜0時，f（x）有3個零點；當(dāng)0≤a＜2時，f（x）有1個零點．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，同時考查函數(shù)的零點個數(shù)，注意結(jié)合函數(shù)的極值的符號，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．