Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx+a（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′(x)=2x-

2

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)x在[

1

2

，2]上變化時(shí)，對(duì)f'（x），f（x）的變化情況列表討論，由此能求出f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的值域．

解答： 解：（1）f′(x)=2x-

2

x

，…（1分）
函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}
令f′（x）＞0，有

x2-1＞0 x＞0

，解之得x＞1…（3分）
令f′（x）＜0，有

x2-1＜0 x＞0

，或0＜x＜1…（4分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．…（6分）
[端點(diǎn)1包含與否，不扣分]
（2）當(dāng)x在[

1

2

，2]上變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：…（10分）

由表知，函數(shù)f（x）_min=1-a，…（12分）
又f(

1

2

)=(

1

2

)2-2ln

1

2

+a=

1

4

+2ln2+a，f（2）=2²-2ln2+a=4-2ln2+a，f(

1

2

)-f(2)=(

1

4

+2ln2+a)-(4-2ln2+a)=4ln2-

14

4

＜0，
所以f（x）_max=4-2ln2+a．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．