Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若x＞0時(shí)，函數(shù)y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）F（x）=e^x+sinx-ax，求導(dǎo)函數(shù)可得F′（x）=e^x+cosx-a．
因?yàn)閤=0是F（x）的極值點(diǎn)，所以F′（0）=1+1-a=0，∴a=2．
當(dāng)a=2時(shí)，若x＜0，F(xiàn)′（x）=e^x+cosx-a＜0；若x＞0，F(xiàn)′（x）=e^x+cosx-a＞0；
∴x=0是F（x）的極小值點(diǎn)，∴a=2符合題意；
（2）令h（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，則h′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a，S（x）=h″（x）=e^x-e^-x-2sinx．
因?yàn)镾′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0，當(dāng)x＞0時(shí)恒成立，所以函數(shù)S（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴S（x）≥S（0）=0當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)恒成立；
因此函數(shù)h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，h′（x）≥h′（0）=4-2a，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)恒成立．
當(dāng)a≤2時(shí)，h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，即h（x）≥h（0）=0．
故a≤2時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（-x）恒成立．
當(dāng)a＞2時(shí)，∵h(yuǎn)′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴總存在x₀∈（0，+∞）使得在區(qū)間[0，x₀）上h′（x）＜0，
∴h（x）在區(qū)間[0，x₀）上遞減，而h（0）=0
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）＜0，這與F（x）-F（-x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立矛盾
∴a＞2不合題意
綜上a的取值范圍是（-∞，2]．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=0是F（x）的極值點(diǎn)，即F′（0）=0，可求a的值，再驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的改變；
（2）令h（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，求導(dǎo)函數(shù)可得h′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a，再求導(dǎo)函數(shù)S（x）=h″（x）=e^x-e^-x-2sinx，確定S（x）≥S（0）=0當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，從而可得函數(shù)h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，h′（x）≥h′（0）=4-2a，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，進(jìn)而分類討論，即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，用好導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．