Question

已知函數(shù)f（x）=2

2

sin

x

ω

cos

x

ω

+2

2

cos²

x

ω

-

2

（ω＞0），函數(shù)的一個對稱中心到一條對稱軸的最短距離為

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的取值范圍；
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c，c=3，∠C=60°，且滿足f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（

2x

ω

+

π

4

），由

T

4

=

π

2

，解得T=2π，由周期公式可解得ω=2．由x∈[0，π]可得當x=

π

4

時，y_max=2，當x=

5π

4

時，y_min=-2；
（2）由正弦定理得sinA=

a

2 3

；sinB=

b

2 3

，由（1）可得sinA+sinB=2

6

sinAsinB，兩邊同除以sinAsinB整理得a²+b²=2a²b²-2ab，由余弦定理得：a²+b²-c²=2ab×cos60°從而可得ab=3，由三角形面積公式即可得解．

解答： 解：（1）f（x）=2

2

sin

x

ω

cos

x

ω

+2

2

cos²

x

ω

-

2

=

2

sin

2x

ω

+

2

+

2

cos

2x

ω

-

2

=2sin（

2x

ω

+

π

4

）．
∵函數(shù)的一個對稱中心到一條對稱軸的最短距離為

π

2

．
∴

T

4

=

π

2

，解得T=2π，由周期公式可得：2π=

2π

2 ω

，從而解得ω=2．
∴f（x）=2sin（x+

π

4

）．
∵x∈[0，π]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴當x=

π

4

時，y_max=2，當x=

5π

4

時，y_min=-2，故函數(shù)f（x）在[0，π]上的取值范圍為[-2，2]．
（2）∵f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB
∴由（1）可得sinA+sinB=2

6

sinAsinB，
∵有正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

sin60°

=

3

3 2

=2

3

所以，sinA=

a

2 3

；sinB=

b

2 3

，
∵sinA+sinB=2

6

sinAsinB
∴兩邊同除以sinAsinB得：

1

sinB

+

1

sinA

=2

6

，
⇒2

3

（

1

b

+

1

a

）=2

6

⇒

1

b

+

1

a

=

2

⇒

a+b

ab

=

2

⇒a+b=

2

ab
⇒兩邊平方得：a²+b²+2ab=2a²b²
⇒a²+b²=2a²b²-2ab
由余弦定理得：a²+b²-c²=2ab×cos60°
∴2a²b²-2ab-9=ab
⇒2a²b²-3ab-9=0
⇒（2ab+3）（ab-3）=0
∴ab=3
∴由三角形面積公式得：△ABC面積=

1

2

absinC=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦定理的應用，屬于基本知識的考查．