Question

將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a，則AD與平面ABC所成之角為

 

．

Answer 1

分析：由題意知DE=BE=

2

2

a，BD=a，求出∠BED，解出三角形BDE的面積，又可證得三棱錐D-ABC的體積可看作面BDE為底，高分別為AE，AC的兩個(gè)棱錐的體積和，應(yīng)用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)D到平面ABC的距離，從而可求AD與平面ABC所成角．

解答：解：如圖，由題意知DE=BE=

2

2

a，BD=a
由勾股定理可得∠BED=90°，故△BDE面積是

1

4

a²
又正方形的對角線互相垂直，且翻折后，AC與DE，BE仍然垂直，
故AE，CE分別是以面BDE為底的兩個(gè)三角形的高
故三棱錐D-ABC的體積為

1

3

×

2

a×

1

4

a²=

2

12

a3，
設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，則
∵三棱錐D-ABC的體積為

1

3

S△ABCh=

1

6

a2h，
∴

2

12

a3═

1

6

a2h，
∴h=

2

2

a，
設(shè)AD與平面ABC所成角為α，則sinα=

2 2 a

a

=

2

2

，
∴α=45°．
故答案為：45°．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面所成角，考查圖形的翻折，解題的關(guān)鍵是正確理解圖形，將求幾何體體積變?yōu)榍髢蓚�(gè)幾何體的體積，換一個(gè)角度求解，使得解題過程變得容易．在折疊圖形中要把握數(shù)量關(guān)系不變的量，哪些幾何元素位置關(guān)系不變．