Question

【題目】Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項和．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an2+2an=4Sn+3，
∴an+12+2an+1=4Sn+1+3，
兩式相減得：an+12﹣an2+2an+1﹣2an=4an+1 ，
整理得：an+12﹣an2=2（an+1+an），
又∵an＞0，
∴an+1﹣an=2，
又∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=3或a1=﹣1（舍），
∴數(shù)列{an}是以3為首項、2為公差的等差數(shù)列，
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知an=2n+1，
∴bn= = = （ ﹣ ），
∴數(shù)列{bn}的前n項和為： （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
= （ ﹣ ）
=
【解析】（I）通過an2+2an=4Sn+3與an+12+2an+1=4Sn+1+3作差可知an+1﹣an=2，進而可知數(shù)列{an}是以3為首項、2為公差的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論；（Ⅱ）通過（I）可知an=2n+1，裂項可知bn= （ ﹣ ），并項相加即得結(jié)論．
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式，掌握數(shù)列{aspan>n}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題．