Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形,且其周長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,若點(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（I）由題意列出方程組求出， ，由此能求出橢圓的方程．(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， 的方程為， ，點(diǎn)B在橢圓內(nèi)，由，得，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、由此能求出的取值范圍.

試題解析：（I）解：由題意，得： 又因?yàn)?/span>

解得，所以橢圓C的方程為.

（II）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為x=0，

此時(shí)E，F為橢圓的上下頂點(diǎn)，且，

因?yàn)辄c(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi)，且，

所以，故點(diǎn)B在橢圓內(nèi).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為.

由方程組得，

因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓內(nèi)，

所以直線與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，即.

設(shè)，則.

設(shè)EF的中點(diǎn)，則，

所以.所以，

，

因?yàn)辄c(diǎn)D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi)，所以對于恒成立.

所以.

化簡，得，整理，得，

而（當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號成立）所以，

由m>0，得.綜上，m的取值范圍是.