Question

已知圓C的半徑為2，圓心C在直線y=x-1上．
（Ⅰ）若圓心C也在直線x-2y=0上．
（�。┣髨AC的方程；
（ⅱ）若直線l：y=kx+1與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且

CM

•

CN

=2，求實(shí)數(shù)k的值．
（Ⅱ）已知A（0，3），若圓C上存在點(diǎn)P，使|PA|=2|PO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：

分析：（Ⅰ）（ⅰ）由

y=x-1 x-2y=0

可得圓心C坐標(biāo)，根據(jù)圓的半徑，可得圓C的方程；
（ⅱ）利用

CM

•

CN

=2，求出∠MCN=60°，可得C到直線的距離為

3

，即可求實(shí)數(shù)k的值．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），由|PA|=2|PO|，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)P的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由P在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）（ⅰ）由

y=x-1 x-2y=0

可得

x=2 y=1

，即C（2，1），
∵圓C的半徑為2，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=4；
（ⅱ）∵

CM

•

CN

=2，
∴2•2•cos∠MCN=2，
∴cos∠MCN=

1

2

，
∴∠MCN=60°，
∴C到直線的距離為

3

，
∴

|2k|

k2+1

=

3

，
∴k=±

3

；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由|PA|=2|PO|，知：

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化簡得：x²+（y+1）²=4，
∴點(diǎn)P的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點(diǎn)M在圓C上，
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=

a2+(2a-3)2

，
∴1≤

a2+(2a-3)2

≤3，
解得：0≤a≤

12

5

．

點(diǎn)評：此題考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．