Question

【題目】已知曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離與它到直線的距離的比是常數(shù)，又斜率為的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)。

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若，求 的最大值；

（Ⅲ）設(shè)，直線與曲線的另一個交點(diǎn)為，直線與曲線的另一個交點(diǎn)為.若和點(diǎn) 共線，求的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）2.

【解析】

（Ⅰ）由已知條件點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到線的距離之比是常數(shù)，列出關(guān)系式，化簡求出曲線方程

（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)直線 的方程為，聯(lián)立直線方程與曲線方程，運(yùn)用弦長公式求出弦長表達(dá)式，求出最大值

（Ⅲ）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與曲線方程，再由三點(diǎn)共線求出的值

解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得：

整理得：

故曲線 的方程為

（Ⅱ）設(shè)直線 的方程為，

由消去 可得

則

設(shè)則

則

易得當(dāng)，，故的最大值為

（Ⅲ）設(shè)

則 ①， ②，

又，所以可設(shè)，直線 的方程為

由消去可得

則

即

代入①式可得，所以

所以，同理可得

因為三點(diǎn)共線，所以

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡可得，即 ．