已知橢圓C1：
y 2
a x
+
x 2
b 2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為4，離心率為
2
2
，其一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線C2：x2=2py（p＞0）的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線交C1于C、D兩點(diǎn)，交C2于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作C2的切線，兩切線交于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）求△QCD面積的最小值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）由已知條件得
2b=4
e=
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
，由此能求出C1的方程．由C1的焦點(diǎn)為（0，2），（0，-2），其一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線C2：x2=2py（p＞0）的準(zhǔn)線上，得p=4，由此能求出C2的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），Q（x0，y0）．由C2：y=
x2
8
，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知過(guò)A點(diǎn)C2的切線方程為y=
xx1
4
-y1．過(guò)B點(diǎn)C2的切線方程為y=
xx2
4
-y2．由此求出直線AB的方程為y=
1
4
x0x+1，
聯(lián)立方程組
y2
8
+
x2
4
=1
y=
1
4
x0x+1
，得(x02+32)x2+8x0x-7×16=0，由此利用橢圓弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式能求出△QCD面積的最小值．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為4，離心率為
2
2
，
∴
2b=4
e=
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
，解得a2=8，b=2，c=2，
∴C1的方程為：
y2
8
+
x2
4
=1．（2分）
∵C1的焦點(diǎn)為（0，2），（0，-2），其一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線C2：x2=2py（p＞0）的準(zhǔn)線上，
∴p=4，∴C2的方程：x2=8y．（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），Q（x0，y0）．
由（Ⅰ）知C2：y=
x2
8
，∴y′=
x
4
，
∴過(guò)A點(diǎn)C2的切線方程為y-y1=
x1
4
(x-x1)，即y=
xx1
4
-y1．
過(guò)B點(diǎn)C2的切線方程為y=
xx2
4
-y2．
又∵這兩條直線均過(guò)點(diǎn)Q，
∴y0=
x0x1
4
-y1，y0=
x0x2
4
-y2，
∴點(diǎn)A，B均在直線y0=
x0x 
4
-y上．
∴直線AB的方程為y=
x0y
4
-y0，
又∵直線AB過(guò)點(diǎn)M（0，1），∴y0=-1．
∴直線AB的方程為y=
1
4
x0x+1，（6分）
聯(lián)立方程組
y2
8
+
x2
4
=1
y=
1
4
x0x+1
，得(x02+32)x2+8x0x-7×16=0，
x3+x4=
-8x0
x02+32
，x3x4=
-7×16
x02+32
．
|CD|=
1+
x02
16
|x3-x4|=
1+
x02
16
16
2
x02+28
x02+32

=
4
2
(x02+28)(x02+16)
x02+32
，（8分）
點(diǎn)Q到直線AB的距離為
|x02+8|
x02+16
．
∴△QCD面積：
S=
2
2
•
(x02+28)(x02+16)
x02+32
•
|x02+8|
x02+16

=
2
2
(x02+8)
x02+28
x02+32
．（10分）
設(shè)
x02+28
=t，∴t≥2
7
．
∴S（t）=
2
2
(t2-20)t
t2+4
=2
2
（t-
24
t+
4
t
），
∴當(dāng)t∈[2
7
，+∞）時(shí)，S（t）為單調(diào)遞增函數(shù)．
∴Smin=
14
．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a＞0），F(xiàn)（x）=
f(x) ， x≥0
-f(x) ， x＜0
若f（-1）=0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x+t，若函數(shù)F（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

畫(huà)出下列函數(shù)的圖象：
（1）y=-
1
x
-1
（2）y=-|-x2+2x+3|
（3）y=-|x-2|+|x+1|
（4）y=1-
1-|x|
|1-x|
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）為二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出兩個(gè)命題，
命題甲：關(guān)于x的不等式：x2+（a-1）x+a2＜0的解集是∅；
命題乙：正比例函數(shù)y=（2a2-a-1）x圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限．
分別求出符合下列條件的a的取值范圍：
（1）甲、乙 都是真命題；
（2）甲、乙 至少有一個(gè)是真命題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將函數(shù)y=（sinx+cosx）2在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{an}．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=2nan，其中n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
alnx
x
+bx圖象在點(diǎn)P（1，f（x））處切線方程是y=-1，其中實(shí)數(shù)a，b是常數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若x=1是函數(shù)g（x）=1-clnx-x2的唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，以及任意大于m的實(shí)數(shù)t，都有
ln(x+t)
x+t
-x＜
lnt
t
恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a3=7，a6=16，則a10=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=x2-2ax-3在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，則a的取值范圍
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案