Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ ﹣1，a∈R．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）≤ x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）= ，若g（x）在[1，e2]上存在極值，求a的取值范圍，并判斷極值的正負(fù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）≤ x﹣1，即lnx+ ﹣1≤ x﹣1，

即a≤﹣xlnx﹣ x2在[1，+∞）上恒成立，

設(shè)函數(shù)m（x）=﹣xlnx﹣ x2，x≥1，

m′（x）=﹣lnx+x﹣1，設(shè)n（x）=﹣lnx+x﹣1，

n′（x）=﹣ +1，由x≥1時(shí)，n′（x）≥0，

∴n（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，且n（x）≥n（1）=0，

即m′（x）≥m′（1）=0，對x∈[1，+∞）恒成立，

∴m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，m（x）≥m（x）min=m（1）= ，

∴a≤ ，

∴a的取值范圍是（﹣∞， ]

（2）解：g（x）= = + ﹣ ，x∈[1，e2]，

求導(dǎo)g′（x）= + ﹣ = ，

設(shè)h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，

由h′（x）=0，解得：x=e，

當(dāng)1≤x＜e時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)e＜x≤e2，h′（x）＜0，

且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，

顯然h（1）＞h（e2），

若g（x）在[1，e2]上存在極值，

則 或 ，

當(dāng) ，即1＜a＜ 時(shí)，

則必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，

當(dāng)x變化時(shí)，h（x），g′（x），g（x）的變化如表，

x	（1，x1）	<>x1	（x1，x2）	x2	（x1，e2）
h（x）	﹣	0	+	0	﹣
g′（x）	﹣	0	+	0	﹣
g（x）	↓	極小值	↓	極小值	↓

當(dāng)1＜a＜ 時(shí)，g（x）在[1，e2]上的極值為g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），

由g（x1）= + ﹣ = ，

設(shè)φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜ ，1≤x＜e，

則φ′（x）=lnx＞0，

∴φ（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號；

∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，

當(dāng)1＜a＜ ，g（x）在[1，e2]上的極值g（x2）＞g（x1）＞0，

當(dāng) ，即0＜a≤1時(shí)，

則必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，

易知g（x）在（1，x3）上單調(diào)遞增，在（x3，e2]上單調(diào)遞減，

此時(shí)，g（x）在[1，e2]上的極大值時(shí)g（x3），即g（x3）＞g（e2）= ＞0，

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g（x）在[1，e2]上存在極值，且極值都為正數(shù)，

綜上可知：當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，g（x）在[1，e2]上存在極值，且極值都為正數(shù)

【解析】（1）由題意可知a≤﹣xlnx﹣ x2在[1，+∞）上恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷，即可求得m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，即可求得a的取值范圍；（2）g（x）= = + ﹣ ，x∈[1，e2]，若g（x）在[1，e2]上存在極值，則 或 ，分類討論，分別構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，即可求得a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．