Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）（x-2）（x-6），點A（1，0），B（2，0），C（6，0），過點C作曲線y=f（x）的切線，切點為D（D與C不重合），則下列命題中正確的是

 

．（寫出所有正確命題的序號）
①方程f（x）′=0的兩根分別位于區(qū)間（1，2）和（2，6）內(nèi)；
②點D在x軸的射影為線段AB的中點；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（3，-6）對稱；
④函數(shù)y=f（x）在點D處取得極大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的取值情況可以畫出函數(shù)f（x）的大致；圖象，①通過圖象可以看出函數(shù)f（x）的極值點的分布情況，所以能判斷①正確；
②根據(jù)過點C的直線方程與曲線y=f（x）有兩個二重根可求得D點的橫坐標，從而能判斷②的正誤；
③求出函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（3，-6）對稱的圖象的解析式，即可判斷③的正誤．
④通過前面知道函數(shù)y=f（x）在D點的導(dǎo)數(shù)不為0，所以在D處取不到極大值，所以④錯誤．
這樣便可找出正確的命題．

解答： 解：根據(jù)f（x）的取值情況：x＜1時，f（x）＜0；1＜x＜2時，f（x）＞0；2＜x＜6時，f（x）＜0；x＞6時，f（x）＞0．畫出f（x）的圖象．
①通過通過圖象可以看出，f（x）在（1，2）和（2，6）上存在極值，∴方程f（x）′=0的兩根分別位于區(qū)間（1，2）和（2，6）內(nèi)；
②設(shè)過點C的f（x）的切線方程為：y=k（x-6），解

y=k(x-6) y=(x-1)(x-2)(x-6)

得：x²-3x+2-k=0     （1），該方程的二重根便是切點D的橫坐標，∴△=9-2（4-k）=1+4k=0，∴k=-

1

4

；
∴帶入方程（1）并解得：x1=x2=

3

2

，∴點D在x軸的射影為線段AB的中點．
③設(shè)（x₀，y₀）為函數(shù)y=f（x）的圖象上的任一點，它關(guān)于（3，-6）的對稱點為（x，y），則：

x0+x 2 =3 y0+y 2 =-6

，解得：

x0=6-x y0=-12-y

，帶入y=f（x）的解析式并化簡得：
x³-9x²+20x+12=y，這便是函數(shù)y=f（x）的解析式；
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（3，-6）對稱．
④∵函數(shù)y=f（x）在點D處的導(dǎo)數(shù)為-

1

4

≠0，∴函數(shù)y=f（x）在點D處取不到極大值．
∴正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點評：考查函數(shù)的極值和函數(shù)在極值點處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；切線2反應(yīng)在方程上，就是直線方程和曲線方程形成的方程組有二重根，判別式△=0；切線斜率和函數(shù)在切點處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式畫出它的大致圖象．