已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓焦距為2，離心率為
1
2

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)（1，2）且傾斜角為45°且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓焦距為2，離心率為
1
2
，可得c=1，
c
a
=
1
2
，求出幾何量，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l的方程為y=x+1，代入橢圓方程，消去y可得7x2+8x-8=0，利用弦長(zhǎng)公式可得結(jié)論．
解答： 解：（1）∵焦點(diǎn)在x軸上的橢圓焦距為2，離心率為
1
2
，
∴c=1，
c
a
=
1
2
，
∴a=2，
∴b2=a2-c2=3，
∴所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
∵直線l過(guò)點(diǎn)（1，2）且傾斜角為45°，
∴直線l的方程為y=x+1，
代入橢圓方程，消去y可得7x2+8x-8=0，
∴x1+x2=-
8
7
，x1x2=-
8
7

∴|x1-x2|=
(
8
7
)2+4•
8
7
=
12
2
7

因此，|AB|=
2
•|x1-x2|=
24
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)（-1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求△F2PQ的內(nèi)切圓面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集∪={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，4}，B={2，4，5}，P={4，7，8}
求：①（∁uB）∪A      ②（A∩B）∩（∁uP）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題p：“直線y=x+
2
與橢圓x2+
y2
a
=1(a＞0且a≠1)有公共點(diǎn)”，命題q：“有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x2+2ax+2a≤0”． 若命題“p或q”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若拋物線y2=-2px（p＞0）上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為-9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求拋物線方程和M點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四邊形ABCD中，
AD
=λ
BC
（λ＞0），|
AB
|=|
AD
|=2，|
CB
-
CD
|=2
3
，且△BCD是以BC為斜邊的直角三角形．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求
BC
•
CD
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x3-x2+ax，x≤1
lnx，x＞1
，在x=1處連續(xù)．
（I）求a的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（III）若不等式f（x）≤x+c對(duì)一切x∈R恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【坐標(biāo)系與參數(shù)方程】設(shè)直線l的參數(shù)方程為
x=2+t
y=2t
（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox軸為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=
8cosθ
sin2θ
．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過(guò)正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過(guò)5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計(jì)算，下列各個(gè)選項(xiàng)中，一定符合上述指標(biāo)的是
 
．
①平均數(shù)
.
x
≤3；
②標(biāo)準(zhǔn)差S≤2；
③平均數(shù)
.
x
≤3且標(biāo)準(zhǔn)差S≤2；
④平均數(shù)
.
x
≤3且極差小于或等于2；
⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4．

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