如圖，在四邊形ABCD中，
AD
=λ
BC
（λ＞0），|
AB
|=|
AD
|=2，|
CB
-
CD
|=2
3
，且△BCD是以BC為斜邊的直角三角形．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求
BC
•
CD
的值．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,向量數(shù)乘的運算及其幾何意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由已知可知四邊形ABCD為梯形，且梯形的上底邊長和腰長相等為2，對角線BD長為2
3
求出∠BDC為直角，在直角三角形BDC中，利用直角三角形邊和角的關(guān)系得到λ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得四邊形ABCD為等腰梯形，求出梯形的下底邊長，然后直接利用數(shù)量積公式求解
BC
•
CD
的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵
AD
=λ
BC
(λ＞0)，∴BC∥AD，且|
AD
|=λ|
BC
|，
∵|
AB
|=|
AD
|=2，∴|
BC
|=
2
λ
．
又|
CB
-
CD
|=2
3
，∴|
DB
|=2
3
．
如圖，

作AH⊥BD交BD于H，則H為BD的中點，
在Rt△AHB中，cos∠ABH=
BH
AB
=
3
2
，
于是∠ABH=30°，∴∠ADB=∠DBC=30°，
又∵∠BDC=90°，∴BD=BCcos30°．
即2
3
=
2
λ
•
3
2
，∴λ=
1
2
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|
CD
|=2，故四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠BCD=60°，|
BC
|=4．
∴
BC
與
CD
的夾角為120°．
故
BC
•
CD
=|
BC
|•|
CD
|•cos120°
=4×2×(-
1
2
)=-4．
點評：本題考查平面向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵是由向量共線得到四邊形是梯形，同時由向量的模相等得到梯形為等腰梯形，體現(xiàn)了平面向量在解平面幾何題中的應(yīng)用，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A點的坐標是（-3，0），重心G的坐標是（-
1
2
，-1），O為坐標原點，M為邊BC的中點，OM⊥BC，求：直線BC的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，x∈R．
（Ⅰ）當a=4時，求不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥2a對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=（
1
2
） 
-x2+2x+8
的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓焦距為2，離心率為
1
2

（1）求橢圓的標準方程
（2）若直線l過點（1，2）且傾斜角為45°且與橢圓相交于A，B兩點，求弦長|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b是不相等的正常數(shù)，實數(shù)x，y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求證：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，并指出等號成立的條件；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=
2
x
+
1
1-2x
，x∈(0，
1
2
)的最小值，并指出此時x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求滿足下列條件的橢圓標準方程
（1）與橢圓
x2
4
+
y2
9
=1有相同的焦點，且經(jīng)過點P（2，-3）
（2）離心率e=
5
5
，短軸長為4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直線PA，PB相交于點P，且它們的斜率之積為-
3
4
．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）試判斷以PB為直徑的圓與圓x2+y2=4的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）直線PM與橢圓的另一個交點為N，求△OPN面積的最大值（O為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-
1
3
x+
1
6
，x∈[0，
1
2
]
2x3
x+1
，x∈(
1
2
，1]
，函數(shù)g（x）=acos
πx
2
-2a+
1
2
(a＜0)，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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