Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且其前n項(xiàng)和滿足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：T_n≤1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．可得當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得a_n-a_n-1=1．即可證明．
（2）由（1）可得a_n=n．b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 證明：（1）∵2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．∴當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-(

a

2 n-1

+an-1)，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n+a_n-1＞0．
∴a_n-a_n-1=1．
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=

a

2 1

+a1，a₁＞0，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
（2）由（1）可得a_n=1+（n-1）×1=n．
∴b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
∴T_n≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．