如圖,A,B,C,D為空間四點(diǎn).在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等邊三角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng).

(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),求CD.

(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),是否總有AB⊥CD?證明你的結(jié)論.

 

(1)2 (2)見解析

【解析】(1)取AB的中點(diǎn)E,

連接DE,CE,

因?yàn)椤?/span>ADB是等邊三角形,

所以DE⊥AB.

當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),

因?yàn)槠矫?/span>ADB∩平面ABC=AB,

所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE.

由已知可得DE=,EC=1,

在Rt△DEC中,CD==2.

(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),總有AB⊥CD.

證明:

①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí),

因?yàn)?/span>AC=BC,AD=BD,

所以C,D都在線段AB的垂直平分線上,即AB⊥CD.

②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí),

由(1)知AB⊥DE.

又因AC=BC,所以AB⊥CE.

又DE,CE為相交直線,所以AB⊥平面CDE.

由CD?平面CDE,得AB⊥CD.

綜上所述,總有AB⊥CD.

 

練習(xí)冊系列答案
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函數(shù)f(x)=ax2+(a-3)x+1在區(qū)間[-1,+∞)上是遞減的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)

(A)[-3,0) (B)(-∞,-3]

(C)[-2,0] (D)[-3,0]

 

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①?zèng)]有公共點(diǎn)的兩條直線平行;

②互相垂直的兩條直線是相交直線;

③既不平行也不相交的直線是異面直線;

④不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

 

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證明:(1)A1E∥AB.

(2)平面CC1FB⊥平面AA1EB.

 

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(B)若l⊥α,m∥β,α⊥β,則l⊥m

(C)若l∥m,l?α,m⊥β,則α∥β

(D)若l⊥α,m⊥β,α∥β,則l∥m

 

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(A) (B) (C) (D)

 

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