Question

已知A，B是單位圓C上的兩個(gè)定點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，|

AC

-λ

AB

|有最小值

1

2

，則|

AB

|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：由A，B是單位圓C上的兩個(gè)定點(diǎn)，則|

AC

|=|

BC

|=1，令|

AB

|=t，運(yùn)用向量的平方即為模的平方，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合余弦定理，可得關(guān)于λ的二次函數(shù)λ²t²-λt²+1，運(yùn)用二次函數(shù)的最值，即可得到最小值，解方程進(jìn)而得到t．

解答： 解：由A，B是單位圓C上的兩個(gè)定點(diǎn)，
則|

AC

|=|

BC

|=1，令|

AB

|=t，
y=|

AC

-λ

AB

|²=（

AC

-λ

AB

）²=

AC

2-2λ

AB

•

AC

+λ²|

AB

|²
=1-2λ|

AB

|•|

AC

|cosA+λ²|

AB

|²
=1-λ（t²+1-1）+λ²t²=λ²t²-λt²+1，
當(dāng)λ=-

-t2

2t2

=

1

2

時(shí)，y取得最小值，且為

1

4

t²-

1

2

t²+1=1-

1

4

t²，
由于對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，|

AC

-λ

AB

|有最小值

1

2

，
則1-

1

4

t²=

1

4

，解得t=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要考查向量的平方即為模的平方，運(yùn)用二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯(cuò)題．