Question

已知7sin²α+sinαcosα-cos²α=1，α∈[

π

2

，π]，求sin（2α+

π

3

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由已知得

1

2

sin2α-4cos2α+2=0，從而sin2α=8cos2α-4，由此得到cos2α=

3

5

，sin2α=-

4

5

，或cos2α=

5

13

，sin2α=-

12

13

，進(jìn)而能求出sin（2α+

π

3

）的值．

解答： 解：∵7sin²α+sinαcosα-cos²α=1，
∴6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，
∴

1

2

sin2α-4cos2α+2=0，
∴sin2α=8cos2α-4，
∴65cos²2α-64cos2α+15=0，
∵a∈[

π

2

，π]，
∴cos2α=

3

5

，sin2α=-

4

5

，或cos2α=

5

13

，sin2α=-

12

13

，
當(dāng)cos2α=

3

5

，sin2α=-

4

5

時(shí)，
sin（2a+

π

3

）=

1

2

sin2α+

3

2

cos2α
=

1

2

×(-

4

5

)+

3

2

×

3

5

=

3 3 -4

10

；
當(dāng)cos2α=

5

13

，sin2α=-

12

13

時(shí)，
sin（2α+

π

3

）=

1

2

sin2α+

3

2

cos2α
=

1

2

×(-

12

13

)+

3

2

×

5

13

=

5 3 -12

26

．
故sin（2α+

π

3

）的值為

3 3 -4

10

或

5 3 -12

26

．

點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．