Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＜0，且f（1）=-2
（1）求f（0）及f（-1）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）求解不等式f（2x）-f（x²+3x）＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,一元二次不等式的解法

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0求f（0）=0；再令x=-y=1得f（0）=f（1）+f（-1）；從而求解；
（2）可判斷函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，利用定義證明；
（3）由（2）知，f（2x）-f（x²+3x）＜4可化為f（2x-x²-3x）＜f（-2）；從而得x²+x-2＜0，從而解得．

解答： 解：（1）令x=y=0得，
f（0）=f（0）+f（0）；
故f（0）=0；
令x=-y=1得，
f（0）=f（1）+f（-1）；
故f（-1）=f（0）-f（1）=2；
（2）函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，證明如下，
令x=-y得，f（0）=f（x）+f（-x）；
故f（x）=-f（-x）；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁），
故由f（x₂-x₁）＜0知，-f（x₂-x₁）＞0，
從而得f（x₁）-f（x₂）＞0，
則函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）由（2）知，
f（2x）-f（x²+3x）＜4可化為
f（2x-x²-3x）＜f（-2）；
故x²+x-2＜0，
解得，x∈（-2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．