Question

（本題滿分14分）已知如圖，橢圓方程為.P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),

F₁、F₂為橢圓的兩焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，過(guò)F₁作∠F₁PF₂的外角
平分線的垂線F₁M,垂足為M，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，定義M與P重合．
（1）求M點(diǎn)的軌跡T的方程；（2）已知、，
試探究是否存在這樣的點(diǎn)：是軌跡T內(nèi)部的整點(diǎn)
（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)），且△OEQ的面積？
若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  

（1）當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，延長(zhǎng)F₁M與F₂P的延長(zhǎng)線相交
于點(diǎn)N,連結(jié)OM，∵, 
∴≌ ∴M是線段的中點(diǎn)，|----------2分
∴= ==
∵點(diǎn)P在橢圓上∴＝   ∴＝4，----------------------4分
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，M與P重合
∴M點(diǎn)的軌跡T的方程為：.----------------------6分
（2）連結(jié)OE，易知軌跡T上有兩個(gè)點(diǎn)
A，B滿足,
分別過(guò)A、B作直線OE的兩條平行線、.
∵同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等
∴符合條件的點(diǎn)均在直線、上.------ ----------7分
∵  ∴直線、的方程分別為：、-------------------8分
設(shè)點(diǎn) （ ）∵在軌跡T內(nèi)，∴--------------------------------9分
分別解與得 與 -------11分
∵∴為偶數(shù)，在上對(duì)應(yīng)的
在上，對(duì)應(yīng)的-----------13分
∴滿足條件的點(diǎn)存在，共有6個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為：
．------------14分